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MODELE BLACK SCHOLES


 

 

  

 

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Modèle Black-Scholes D'EVALUATION DU PRIX D'UNE OPTION

Principes de calcul

Le modèle de Black et Scholès définit la valeur d'une option à l'instant t comme étant la moyenne des valeurs intrinsèques possibles de cette dernière pondérée par leur probabilité respective d'occurrence.

Le modèle calcule les cours possibles de l'actif sous-jacent à l'échéance, ainsi que leur probabilité respective d'occurrence, en partant de l'hypothèse fondamentale qu'il s'agit d'une variable aléatoire dont la loi de distribution suit une courbe gaussienne. Il détermine la valeur actualisée au taux du marché monétaire de l'option à la date tdes calculs.

Hypothèses de calcul

Le modèle Black-Scholes repose sur un certain nombre d'hypothèses cumulatives

  • le prix de l'actif sous-jacent St suit un  mouvement brownien  géométrique avec une volatilité  σ constante et une dérivée μ constante

 dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \, ,

  • il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage,

  • le temps est une fonction continue 

  • il est possible d'effectuer des ventes à découvert

  • il n'y a pas de coûts de transactions,

  • il existe un  taux sans risque , connu à l'avance et constant,

  • tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple acheter 1/100e d'action),

  • l'action ne paie pas de dividendes  entre le moment de l'évaluation de l'option et l'échéance de celle-ci.

Formule de Black Scholes

La formule de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique d'une option  à partir des cinq données suivantes :

  •  \mathcal{}S_0 la valeur actuelle de l' action  sous-jacente,

  •  \mathcal{}T le temps qui reste à l' option avant son échéance (exprimé en années),

  •  \mathcal{}K le prix d'exercice fixé par l'option,

  •  \mathcal{}r le   taux d'intérêt  sans risque,

  •  \mathcal{}\sigma la  volatilité  du prix de l'action.

Si les quatre premières données sont évidentes, la volatilité \mathcal{}\sigma de l'actif est difficile à évaluer. Deux analystes pourront avoir une opinion différente sur la valeur de \mathcal{}\sigma à choisir.

Prix d'un call

Le prix théorique d'un call  donnant  le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off : ( \mathcal{S}_{T} - K)^{+}=\max(S_{T} - K  ; 0)

Il est donné par  l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé

C = E(Payoff \times e^{-rT})~,

soit la formule de Black-Scholes :

C(S_0,K,r,t,\sigma) = S_0 \mathcal{N}(d_1) - K e^{-rt}\mathcal{N}(d_2)

Prix d'un put

Le prix théorique d'un put , de pay off ( K - \mathcal{S}_{T} )^{+}=\max(K-S_{T} ; 0) est donné par :

P(S_0,K,r,t,\sigma) = -S_0 \mathcal{N}(-d_1) + K e^{-rt}\mathcal{N}(-d_2)

avec

  • \mathcal{N} la fonction de répartition de la  loi normale e centrée réduite \mathcal{N}\left( 0,1 \right), c'est-à-dire \mathcal{N}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} du

  • d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{t}} \left[ \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r + \frac{1}{2}\sigma^2 \right)t \right]

  • d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t}


La formule put être inversée , de façon à calculer sur la base du prix de l'option qui est côté dans les marchés la valeur de  \mathcal{}\sigma   pour que la formule Black-Scholes donne exactement ce prix. Ceci permet de calculer calculer  la volatilité implicite.

Fiabilité du modèle de Black et Scholès

Le modèle retient des hypothèses simplificatrices qui sont de nature à provoquer des écarts significatifs entre la réalité du marché et les valeurs données par le modèle. En fait, en période de stabilité, la majorité des opérateurs utilisant la formule de Black et Scholtès  pour fixer leur prix, le modèle a une valeur auto-réalisatrice. Les opérateurs sur le marché utilisant le même étalon d'évaluation la valeur sur le marché a tendance à être la valeur fixée par le modèle.

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